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関数解析学において、有界作用素のスペクトルは、行列における固有値の概念の一般化である。特に、が可逆でなければ、を有界線形作用素のスペクトルという。ただしは恒等関数とする。スペクトル及びスペクトルに関連する研究は、スペクトル理論と呼ばれ多くの応用先を持つ。最も良く知られているのが、量子力学の数学的な枠組みについてである。 有限次元ベクトル空間上の作用素のスペクトルは厳密に、固有値の集合となる。しかしながら、無限次元空間上の作用素は、固有値を持たないことがある。例えば、ヒルベルト空間 ℓ2 上では、右シフト作用素 : は固有値を持たない。 固有値をもつ、つまりを満たすような0でないが存在するとすると、となる。 一方で、（つまり自身）は可逆ではない。つまり、ゼロでない第一成分が含まれていないような任意のベクトルについては全写ではないので、はスペクトルの元である。 実際、複素バナッハ空間上の任意の有界線形作用素は、必ず空でないスペクトルを持つ。 有界作用素は、スペクトルの厳密な定義に従えば、バナッハ環の構成要素と考えることもできる。スペクトルの概念は、非有界作用素に拡張することができる。有界でない場合、スペクトルに関して良い性質を得るために、作用素は閉じている必要があることも多い。 スペクトル及びスペクトルに関連する研究は、スペクトル理論と呼ばれる。 == 有界作用素のスペクトル == 係数体 上のバナッハ空間 に作用する有界線型作用素 に対し、 上の恒等作用素を として、 のスペクトル は、作用素 の有界線型な逆作用素が存在しないような複素数 全体の成す集合を言う。 は線型作用素ゆえ、その逆作用素もまた存在すれば線型である。また有界逆写像定理により有界性も出る。故にスペクトル は、 が全単射でないような複素数 の全体に一致する。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「スペクトル (関数解析学)」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Spectrum (functional analysis) 」があります。 スポンサード リンク
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